# Aufgabensammlung der höheren Mathematik, 15. Auflage by Vasili P. Minorski

By Vasili P. Minorski

Similar german_2 books

Vierbeiner-Darstellungen auf schwedischen Runensteinen

On over one hundred thirty Swedish rune-stones of the Viking interval, an outline of a quadruped seems to be beside the memorial inscription. The wild animal is a lion or a wolf that's occasionally sure. Sigmund Oehrl affiliates the motif with the binding of the wolf Fenrir and the banishment of the Hellhound via Christ and evaluates it opposed to the historical past of the expectancy of the tip of the area and the method of missions.

Additional info for Aufgabensammlung der höheren Mathematik, 15. Auflage

Example text

N¸ Î ØÓÖ Ò Ñ x¹ËÝ×Ø Ñ ÙÒ bi = (bi1 , bi2 , . . , bin )Ì ¸ i = 1, 2, . . , n¸ Ö Ð Ö Ñ y ¹ËÝ×Ø Ñ¸ ×Ó ÐØ Ö × ËÔ ØÔÖÓ Ù Ø a11 a12 . . a1n a21 a22 . . a2n = det A · ................... an1 an2 . . ann b11 b12 . . b1n b21 b22 . . b2n ................... bn1 bn2 . . bnn ´ º ¿µ ÓÑÓ Ò Ò ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ y = Ax Û Ö Ø Ò Ö ÙÒ ÙÒ Î Ö¹ × ÃÓÓÖ Ò Ø Ò×Ý×Ø Ñ×¸ Û ÒÒ det A > 0 ×Øº Ö det A < 0 ÓÑÑØ ÒÓ Ò ÍÑ Ð ÔÔÙÒ ÒÞÙº Ò Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù ØÖ ØØ¸ ÙØ Ø Ö Î ØÓÖ c = o¸ Ö Ò Ö Ò ÓÑÓ Ò Ò ÒÙÖ Ò Î Ö× ÙÒ × ÃÓÓÖ Ò Ø Ò×Ý×Ø Ñ×º Ò Å ØÖ Ü A = A(n,n) Ø Ò Ù ÒÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð¸ Û ÒÒ Þ ÖÖÙÒ AÌ A = E n ´ º µ × ÐØ Ö Ò Ø ÙÑ ÖØº Ò ÕÙ ¹ Á×Ø A ÓÖØ Ó ÓÒ Ð¸ ×Ó ×Ø det A = ±1 Ö Ø× Å ØÖ Ü ×Ø ÒÒ ÙÒ ÒÙÖ ÒÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð¸ Û ÒÒ ÐØ µ A−1 = AÌ µ Ð ÒÚ ØÓÖ Ò ´ËÔ ÐØ ÒÚ ØÓÖ Òµ ÚÓÒ A × Ò Ô ÖÛ × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò¹ Ø×Ú ØÓÖ Ò¸ º º ai1 ak1 + ai2 ak2 + .

Br+s = 0 ×Øº Ò Ö Ò ÐÐ× ×Ø ÁÑ ÐÐ ÖÄ × Ö ×Ø ÐØ Ò Ä Ë × ËÝ×Ø Ñ ´ º¿ µ ÙÒÐ × Öº Ø Ò ØÑ Ò Ä ×ÙÒ Ò ´ º¿ µ × Ö ØØÛ × d11 xˆ1 + d12 x ˆ2 + . . + d1r x ˆr = ˆb1 − d1,r+1 x ˆr+1 − . . − d1n x ˆn d22 x ˆ2 + . . + d2r x ˆr = ˆb2 − d2,r+1 x ˆr+1 − . . − d2n x ˆn ºº ºº ºº ºº ºº º º º º º drr xˆr = ˆbr − dr,r+1 xˆr+1 − . . − drn x ˆn Ñ Ø (n − r) Ö ÒÎ Ö Ù× Ñ ´ º ¼µ Ð Ò ´È Ö Ñ Ø ÖÒµ x ˆr+1 = t1 , x ˆr+2 = t2 , . . , x ˆn = tn−r −∞ < ti < +∞ (i = 1, 2, . . , n − r) ´ º ½µ ¼ ÄÒ Ö ½º Ä × Ò Ò ÐÒ Ö Ò Ð ¹ ÙÒ ××Ý×Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ù × Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ×º µ 4x1 + 6x2 + 17x3 + 8x4 = −20 − x3 + 2x4 = 4 2x1 + 3x2 + 7x3 + 7x4 = −4 2x1 + 3x2 + 8x3 + 5x4 = −8 µ 4x1 + 6x2 + 17x3 + 8x4 = −20 − x3 + 2x4 = 5 2x1 + 3x2 + 7x3 + 7x4 = −4 2x1 + 3x2 + 8x3 + 5x4 = −8 ´ Ø ÖÒ ½ ÒØ×Ø Ò Ø ÖÙÒ Ù× ½ ÖÖ ÙÖ ¹ Ø Ò Ë Ø ºµ ¾º Ä × Ò Ò ÐÒ Ö Ò Ð ¹ ÙÒ ××Ý×Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ù × Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ×º µ x1 − x2 + x3 = 2 2x1 + x2 − x3 = 1 5x1 + x2 − x3 = 4 µ x1 − x2 + x3 = 2 2x1 + x2 − x3 = 1 5x1 + x2 − x3 = 0 µ x1 − x2 + x3 = 2 2x1 + x2 − x3 = 1 −x1 + 2x2 − x3 = 0 µ x1 + x2 + x3 = 3 x1 − 2x2 − x3 = −2 2x1 + x2 − 3x3 = 0 µ x1 + x2 + x3 = 3 x1 − 2x2 − x3 = −2 −x1 + 5x2 + 3x3 = 7 µ x1 + x2 + x3 + x4 = 4 x1 + x2 − x3 − x4 = 0 3x1 + 3x2 + x3 + x4 = 8 µ −3x1 + 3x2 − 2x3 = 0 2x1 − 2x2 + 5x3 = 0 x1 + 3x2 + 2x3 = 0 Ð Ö µ x1 − x2 + 5x3 + 8x4 = 0 4x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0 2x1 − 4x2 + 3x3 − 4x4 = 0 3x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 2 11 6 −4 −2 ⎜ ⎟ ⎜ 6 −9 −2 4 2 ⎟ ⎜x2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ µ⎜ ⎝−10 6 −2 −3 −1⎠ ⎜x3 ⎟ ⎝x4 ⎠ 1 −5 −2 2 1 x5 =o ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 12 3 4 5 6 ⎜ ⎟ ⎜2 4 3 2 1 0⎟ ⎜x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ µ⎜ ⎜0 0 3 5 4 3⎟ ⎜x4 ⎟ ⎝3 6 9 11 10 9⎠ ⎜ ⎟ ⎝x5 ⎠ 12 2 2 2 2 x6 = (21, 12, 15, 48, 11)Ì ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 6 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎜6⎟ ⎜3 2 1⎟ x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ µ⎜ ⎜1 1 1⎟ x2 = ⎜3⎟ ⎝7⎠ ⎝2 4 1⎠ x3 2 1 −1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x ⎛ ⎞ 1 2 3 2 1 ⎜ 1⎟ 6 x ⎜3 2 1 2 3⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜6⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ðµ ⎜ ⎝1 1 1 1 1⎠ ⎜x3 ⎟ = ⎝3⎠ ⎝x4 ⎠ 12 3 45 6 x5 Ñµ 2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = −4 x1 − 2x2 − 3x3 − 4x4 = 6 3x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 7 4x1 − 3x2 − 5x3 − 8x4 = 13 Òµ 2x1 − 2x2 + 3x3 + 5x4 = 7 3x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 6 Óµ 3x1 − 2x2 + 5x3 = 5 −2x1 + 3x2 − 6x3 = −7 5x1 − 7x2 + 4x3 = −4 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 −3 −2 3 x1 ⎜ 3 5 −3 −5⎟ ⎜x2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ Ôµ ⎜ ⎝ 4 2 −4 −2⎠ ⎝x3 ⎠ x4 −5 4 5 −4 = (12, −1, 8, −23)Ì º ÁÒÚ Ö× Å ØÖ Ü ´ Ù×Ø Ù× Ú Ö ⎛ 2 ⎜−3 Õµ ⎜ ⎝5 3 ¿º º 3 2 −4 3 −2 3 2 −5 ⎞⎛ ⎞ −11 x1 ⎜x2 ⎟ 10 ⎟ ⎟⎜ ⎟ −2 ⎠ ⎝x3 ⎠ x4 −19 = (−9, 7, 10, −18)Ì Ö Û Ð Ö ÐÐ Ò Ï ÖØ ÚÓÒ λ ×Ø × ÓÐ Ò ËÝ×Ø Ñ Ð × Ö ¹ Ö Ò ÞÙ Ö Ò Ä ×ÙÒ Òº x+ y+ z= 3 3x + 5y + z = 9 2x + 3y + z = λ2 − 4λ + 6 5x + 6y + λz = 15 ÓÐ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ ×¹ ×Ý×Ø Ñ × Ò ÙÖ ×Ø ÑÑÙÒ × Ê Ò × Ö ÃÓ Þ ÒØ ÒÑ ØÖ Ü ÙÒ × Ê Ò × Ö ÖÛ Ø ÖØ Ò ÃÓ Þ ¹ ÒØ ÒÑ ØÖ Ü Ù Ö Ä × Ö Ø ÞÙ ÙÒØ Ö×Ù Ò µ x1 + x2 + x3 = 3 x1 + x2 − 3x3 = −1 2x1 + x2 − 2x3 = 1 x1 + 2x2 − 3x3 = 1 º µ Ö Òµ ½ x1 − 2x2 − 3x3 = −3 x1 + 3x2 − 5x3 = 0 −x1 + 4x2 + x3 = 3 3x1 + x2 − 13x3 = −6 µ 2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0 3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 2 4x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 3 º µ ×Ø ÑÑ ÐÐ Ä ×ÙÒ Ò × Ð¹ Ò Ö Ò Ð ÙÒ ⎛ ××Ý×Ø⎞Ñ× ⎛ ⎞ x −2 1 −3 3 ⎜ 1 ⎟ ⎝ 1 −3 −1 4⎠ ⎜x2 ⎟ ⎝x3 ⎠ 2 −1 3 2 x4 = (5, 9, 10)Ìº µÏÐ Ä ×ÙÒ Ò Ò Ò Ö Ù¹ × ØÞ Ò ÙÒ ÁÒÚ Ö× Å ØÖ Ü ´ Ù×Ø Ù× Ú Ö |x1 − x2 + 3x3 − 3x4 | = 4?

A1n Ì ⎜ a2 ⎟ ⎜ a21 a22 . . a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ º ⎟=⎜ ´ º¿½µ ⎝ ºº ⎠ ⎝. . . . . . . . . . ⎠ am1 am2 . . amn aÌ m Ò Ù × Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ× ÞÙÖ • Á×Ø r = m¸ ×Ó × Ò ×Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ r(A) = r Ò¸ ×Ó m Î ØÓÖ Ò ai Ð Ò Ö ÙÒ • Á×Ø r < m¸ ×Ó × Ò m Î ØÓÖ Ò ai Ð Ò Ö ai × Ò Ò Ò r Î ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ò (dik )(rr) Ø Ð Ø × Ò º Ò ¸ Ò ÐØ º º ÍÒØ Ö Ò m Î ØÓÖ Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ö Å ØÖ Ü ÄÒ Ö ½º ×Ø ÑÑ ⎛ 2 ⎜−4 ⎜ A=⎝ 5 0 ÒÊ Ò Ö Å ØÖ Ü ⎞ 1 −4 1 3 7 5 −2 0 ⎟ ⎟ 6 9 −3 −3⎠ 3 −1 0 2 ¾º ×Ø ÑÑ Ò Ê Ò Ö Ò Ò Å ØÖ Þ Ò Ñ Ø À Ð × Ù × Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ×º ⎛ ⎞ 2 −1 3 −2 4 µ A = ⎝4 −2 5 1 7⎠ 2 −1 1 8 2 ⎛ ⎞ 1 3 5 −1 ⎜2 −1 −3 4 ⎟ ⎟ µB=⎜ ⎝5 1 −1 7 ⎠ 7 7 9 1 ⎛ ⎞ 4 3 −5 2 3 ⎜8 6 −7 4 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ µC =⎜ ⎜4 3 −8 2 7 ⎟ ⎝4 3 1 2 −5⎠ 8 6 −1 4 −6 ⎛ ⎞ 0 2 −4 ⎜3 1 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 −10⎟ µD=⎜ 0 ⎟ ⎝−1 −4 5 ⎠ 2 3 0 ⎛ ⎞ 2 2 −1 1 2 ⎜4 3 −1 2 1 ⎟ ⎟ µF =⎜ ⎝8 5 −3 4 −1⎠ 3 3 −2 2 1 ⎛ ⎞ 25 31 17 43 ⎜75 94 53 132⎟ ⎟ µG=⎜ ⎝75 94 54 134⎠ 25 32 20 48 Ð Ö ¿º Ï Ð Ò Ê Ò × ØÞ Ò Ò Ò Å ØÖ Þ Ò Ò Ò λ∈R ⎛ ⎞ 3 1 1 4 ⎜λ 4 10 1⎟ ⎟ µA=⎜ ⎝ 1 7 17 3⎠ 2 2 4 3 ⎛ ⎞ 1 λ −1 2 µ B = ⎝2 −1 λ 5 ⎠ 1 10 −6 λ ¹ Ø ÚÓÒ ºÅØ ÀÐ × Ù × Ò Ð ÓÖ Ø ¹ ÑÙ× ×Ø ÞÙ ÙÒØ Ö×Ù Ò¸ Ó ¹ Ò Ò Î ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ò Ó Ö Ð Ò Ö ÙÒ Ò ×Ò º µ a1 a2 a3 a4 = (1, 1, 1, 1)Ì = (1, 1, −1, −1)Ì = (1, −1, −1, 1)Ì = (1, −1, 1, −1)Ì µ a1 = (4, −1, 5, 6)Ì a2 = (4, −5, 2, 6)Ì a3 = (2, −2, 1, 3)Ì a4 = (6, −3, 3, 9)Ì º Ò ×Ø Ò Å Ò ÚÓÒ Î ØÓ¹ Ö Ò T = {a1 , a2 , a3 , a4 }º ×Ø ÑÑ Ö Ò Ê Ò ×ÓÛ Ò × × B Ò T¸ ÙÒ ×Ø ÐÐ Ò Ø ÞÙ B Ö Ò Ò Î ØÓÖ Ò ÚÓÒ T Ð× Ä Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Ø ÓÒ ÚÓÒ B Ö¸ Û ÒÒ µ a1 = (−3, −6, 0, 0)Ì a2 = (1, 2, 3, 4)Ì a3 = (1, 2, 0, 0)Ì µ a1 = (3, 4, −1, 2)Ì a2 = (1, 1, −1, −2)Ì a3 = (4, 1, −2, 3)Ì a4 = (5, 2, −3, 1)Ì º ÄÒ Ö º ÄÒ Ö Ð ÙÒ ××Ý×Ø Ñ ÙÒ ××Ý×Ø Ñ Ö Ñ Ö× º º½ Ð Ò ËÝ×Ø Ñ ÚÓÒ n Ð Ò Ö Ò Ê Ð Ð ÙÒ Ò Ñ Ø n Î Ö Ð Ò a11 x1 + a12 x2 + .