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Symmetry And Group

Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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Finite group theory

Over the past 30 years the speculation of finite teams has built dramatically. Our knowing of finite uncomplicated teams has been more desirable by means of their class. many questions about arbitrary teams should be decreased to comparable questions on uncomplicated teams and functions of the speculation are starting to seem in different branches of arithmetic.

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0, m, 0, . . , 0) avec m à la i-ième place. On a alors : n n Mi = i=1 n fi (Mi ) i=1 Mi . i=1 Notons qu’un isomorphisme analogue n’existe pas dans le cas des produits infinis. 1 Le langage des modules 27 7. Un A-module M est de type fini s’il admet un nombre fini de générateurs (m1 , . . , mk ). Le fait que (m1 , . . , mk ) soit un système de générateurs est équivalent au fait que le morphisme : k φ : Ak → M, φ(λ1 , . . , λk ) = λi mi i=1 est surjectif. 8. Soit M un A-module. e. tels que ∀m ∈ M on ait λm = 0) est un idéal appelé annulateur de M et noté ann(M ).

Démonstration. 13 pour faire apparaître des zéros sous la diagonale principale. a) Soit M = (aij ) (1 i n, 1 j m). Multiplions M à gauche par la matrice L1 = L1,2 (cf. e. 11) : α β γ δ = u v , −a21 /d a11 /d u et v vérifiant d = ua11 + va21 . On a en particulier αδ − βγ = 1 et donc L1 ∈ SLn (A) et la matrice M1 = L1 M a un zéro à la place (2, 1). b) On multiplie ensuite M1 à gauche par une matrice L 2 de la forme L1,3 pour faire apparaître un zéro à la place (3, 1) (ce qui remplace d par d 1 tel que (d1 ) = (d, a31 ), et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne la matrice M n−1 = Ln−1 · · · L1 M dont la première colonne est de la forme t (dn−1 0 .

Les ai sont non nuls et non inversibles ; • a1 |a2 | . . 33) ; l’annulateur de Mt est alors l’idéal (aq ) ; les idéaux (ai ) ne dépendent que du A-module M t . 3. 42). 2 • Modules de type fini 44 4. 42). 46. Prenons A = Z, M = Mt = Z/96Z × Z/72Z × Z/10Z. On a 96 = 25 × 3, 72 = 23 × 32 , d’où : M Z/32Z × Z/3Z × Z/8Z × Z/9Z × Z/2Z × Z/5Z par le théorème chinois. On a donc : M (2) M (3) M (5) Z/32Z × Z/8Z × Z/2Z Z/9Z × Z/3Z Z/5Z . 42, on lit le tableau ci-dessus « en lignes », et on trouve M = M (2) ⊕ M (3) ⊕ M (5).

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