# Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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Hailed as a milestone within the improvement of recent algebra, this vintage exposition of the speculation of teams was once written through a exceptional mathematician who has made major contributions to the sector of summary algebra. The textual content is easily in the variety of graduate scholars and of specific price in its awareness to sensible functions of workforce thought - functions that experience given this previously imprecise sector of research a imperative position in natural arithmetic.

Dynamic Antisymmetry

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Inversement, si on pose n i=1 Mi = M1 ×· · ·×Mn , chaque M i s’identifie à un sous-module f i (Mi ) de ni=1 Mi par le morphisme fi : m ∈ Mi → (0, . . , 0, m, 0, . . , 0) avec m à la i-ième place. On a alors : n n Mi = i=1 n fi (Mi ) i=1 Mi . i=1 Notons qu’un isomorphisme analogue n’existe pas dans le cas des produits infinis. 1 Le langage des modules 27 7. Un A-module M est de type fini s’il admet un nombre fini de générateurs (m1 , . . , mk ). Le fait que (m1 , . . , mk ) soit un système de générateurs est équivalent au fait que le morphisme : k φ : Ak → M, φ(λ1 , .

On a alors un isomorphisme canonique ψ entre M et ni=1 Mi = M1 × · · · × Mn (si mi ∈ Mi , on pose ψ(m1 + · · · + mn ) = (m1 , . . , mn )). Inversement, si on pose n i=1 Mi = M1 ×· · ·×Mn , chaque M i s’identifie à un sous-module f i (Mi ) de ni=1 Mi par le morphisme fi : m ∈ Mi → (0, . . , 0, m, 0, . . , 0) avec m à la i-ième place. On a alors : n n Mi = i=1 n fi (Mi ) i=1 Mi . i=1 Notons qu’un isomorphisme analogue n’existe pas dans le cas des produits infinis. 1 Le langage des modules 27 7.

N © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1. Soit m ∈ N\{0}. Prouver que si 2m + 1 est premier alors m est une puissance de 2. 2. Calculer Fn pour n 4 et vérifier qu’ils sont tous premiers. 3. Montrer qu’a priori, un diviseur premier potentiel de F 5 est de la forme 64k + 1. 4. 27 = 54 + 24 . 5. Montrer que pour n = m, Fn et Fm sont premiers entre eux et en déduire l’existence d’une infinité de nombres premiers. 4. Utilisation des entiers de Gauss, théorème des deux carrés On note A = Z[i] = {a + ib | (a, b) ∈ Z2 } l’anneau des entiers de Gauss.